Chín người chơi cờ

Có 9 người chơi cờ với nhau, mỗi người đều chơi 8 ván với 8 người kia (với mỗi người 1 ván).
1. Chứng minh rằng ở bất kỳ thời điểm nào cũng có 2 người đã chơi xong cùng một số ván cờ.
2. Chứng minh rằng nếu tại một thời điểm nào đó mà có đúng 2 người đã chơi xong cùng một số ván cờ thì lúc đó phải có đúng 1 người hoặc chưa chơi xong ván nào, hoặc đã chơi xong cả 8 ván cờ.

Đáp án

Tại mỗi thời điểm số ván đã chơi xong của mỗi người là một số nguyên từ 0 đến 8. Nhưng khi đã có người chơi xong cả 8 ván thì mỗi người đều chơi ít ra 1 ván, và ngược lại khi còn có người chưa chơi xong ván nào thì không thể có người đã chơi xong 8 ván. Vậy số 0 và số 8 không thể đồng thời có mặt. Ta có 9 người chơi cờ, số ván đã chơi xong của mỗi người là 1 trong 8 số, suy ra ắt phải có 2 người đã chơi xong cùng một số ván.
Tại một thời điểm mà có đúng 2 người đã chơi xong cùng một số ván cờ thì 7 người kia có số ván cờ đã chơi xong là khác lẫn nhau và từ đúng 7 số nguyên từ 0 đến 8 trong số đó số 0 và 8 loại trừ nhau (chỉ có mặt đúng 1 số).
Từ đó suy ra có đúng 1 người hoặc chưa chơi xong ván nào, hoặc đã chơi xong cả 8 ván.